Q. トルコ語の会話で şu anda という表現をよく耳にしますが、şimdi の同義表現と考えていいのでしょうか。

A. 両者は類義表現で微妙に意味や使い方が違います。
şimdi は「今、今から、今すぐ、たった今、今のうち」という意味で、動詞の未来形や完了形などとも一緒に使うことができます。
0 《進行形》 Şimdi kahve içiyorum. (私は)今コーヒーを飲んでいます。
0 《未来形》 Şimdi kahve içeceğim. (私は)今からコーヒーを飲むつもりです。
0 《完了形》 Şimdi kahve içtim. (私は)たった今コーヒーを飲みました。
şu anda は「今現在、只今」という意味で、動詞の未来形や完了形などとは一緒に使うことができません。
0 《進行形》 Şu anda kahve içiyorum. (私は)今現在コーヒーを飲んでいます。
x 《未来形》 Şu anda kahve içeceğim. (私は)今現在コーヒーを飲むつもりです。
x 《完了形》 Şu anda kahve içtim. (私は)今現在コーヒーを飲みました。

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