Q. alayım、geleyim ってなんかの短縮形なのですか？意味はどうなるんですか？

A. 短縮形ではありません。これらは行為の申し出を表す意向形（～しよう）です。　　この意向形では主語は一人称単数に限られます。
　alayımは almak（もらう）の語幹に意向形の活用語尾-ayım（～しよう）がついたもので、「（私は）もらおう」という意味になります。
　geleyimは gelmek（来る）の語幹に意向形の活用語尾-eyim（～しよう）がついたもので、「（私は）来よう」という意味になります。

参考
　ニューエクスプレストルコ語　P.116

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