Q. Sen meşgul musun? という文に誤りがあると聞きましたが、どこが間違っているのでしょうか。

A. Sen meşgul müsün? が正しいです。なぜならば、meşgul の ｌ は有声歯茎側面接近音 [l] 、いわゆる明るいエル （light l）であるため、その後に続く付属語や語尾の母音が後舌母音にならず、前舌母音になるからです。
同様に
　Ｏ Ben meşgulüm.　　Ｘ Ben meşgulum.
　Ｏ Biz meşgulüz.　　Ｘ Biz meşguluz.
　Ｏ Sen meşgulsün.　　Ｘ Sen meşgulsun.
　Ｏ Siz meşgulsünüz.　　Ｘ Siz meşgulsunuz.
　Ｏ Ali meşgul mü?　　Ｘ Ali meşgul mu?
　Ｏ Ali meşguldü.　　Ｘ Ali meşguldu.
　Ｏ Ali meşgulmüş.　　Ｘ Ali meşgulmuş.
　Ｏ Onlar meşguller.　　Ｘ Onlar meşgullar.

参考
　トルコ語文法の基礎　p.3
　ニューエクスプレストルコ語 p.13